数制和编码

一. 进位计数制

1. 什么是进位计数制

进位计数制是利用固定的数字符号和统一的规则来计数的方法。

人类用文字、图表、数字表达和记录着世界上各种各样的信息，便于人们用来处理和交流，人们可以把这些信息都输入到计算机中，由计算机来保存和处理。而我们所使用的计算机都为冯·诺依曼型计算机，所以，计算机内部都使用二进制来表示数据。

这个二进制就是一种计数制，当然还有八进制，十进制和十六进制。这四个进制是我们现在常用的进制，在古巴比伦还有六十进制的存在，但是这种进制没有0，我们现在把它抛弃了。

那么什么是”进位”呢？，就是我们熟悉的 “逢十进一” 这种，可以向前进一位，这就是进位。

十进制，二进制，八进制，十六进制这些都可以进位，所以他们统一叫做进位计数制

2. 基数

某种进制计数制所允许使用的基本数字符号 (即数码) 它的个数称为这种进制计数制的基数。

啥意思？

在十进制中，只有 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这10个数字吧，这10个符号就是十进制的基本数字符号或者叫做数码，他们就是十进制的基数。

同理，二进制只有0和1，0和1就是二进制的基数，八进制，十六进制同理。

3. 权

同一个数字符号处在不同数位时，其所代表的数值等于它本身乘以一个与它所在数位对应的常数，该常数称为位权，简称权

看到这里你可能有点蒙，简单举个例子:

这里有一个十进制的数字 123456 我们想要得到它的位权和。

这是6个数，我们从右开始数，而且从0开始，即 0,1,2,3,4,5位，这就是数位。

1的数位是5，2的数位是4，5的数位是1。这里主要是记住从0开始就行了。

那么啥是位权？

这个数字是10进制的，所以它的位权和10有关。

1的数位为5，位权就是10的5次方；5的数位为1，位权就是10的1次方，即

这里对于其他的进制有普遍性

那如果是小数咋办？举个例子，这次用二进制搞一个，

这里有一个二进制数，100010.101

可以看见哈，位权的计算方式没啥变化，主要是小数点部分从0往后推，-1，-2，-3这样的。

其他进制同理。

4. 按权展开式

一个数的数值为这个数的每个数位上的数字的位权之和。就是把位权加一起。举个例子:

求十进制数1928.25的数值大小

等号右面那一串就是十进制数1928.25的按权展开式

5. 数制表示

不知道你们是否注意到，我前面提到数字都是这样写的，”十进制数1928.25”，”二进制数100010.101” 我都是告诉你们式多少进制，那如果我们不告诉呢？

求100110的按权展开式

你能求吗？求不了，因为你不知道是多少进制的数，这可能是十进制，也可能是二进制。

这里就有了一个知识，数据的三要素，即:

数制 (即多少进制的)
编码 (后面会讲)
数据形态 (整数，小数还是其他的)

这里的编码后面看就懂了。

我们为了方便表示数制，在数字的后面加上一些东西来表示他是啥数制的，B表示二进制，Q表示八进制，D表示十进制，H表示十六进制

举个例子：

3058.72D 代表十进制数 3058.72
10111.01B 代表二进制数 10111.01
1AB4H 代表十六进制数 1AB4

二. 进制转换

1. 其他进制变十进制

这个就是求按权展开式的结果，比如11011.01B变成十进制，就是它的按位展开式的结果

八进制，十六进制都一样，按位展开求结果就行

2.十进制变二进制

十进制变二进制，讲究个”除二取余得整数，结果从下往上数；乘二取整得小数，结果从上往下数”

举个例子：

将18.8125D变成二进制

这个数字是一个整数加小数的形式，即18.8125=18+0.8125。

我们先看整数18

这里9/2并不是真正等于4，而是它……我相信你们能理解的。

整数部分就是 10010，这里一定要注意，整数的结果是从下往上读

这是整数部分，接下来看小数部分0.8125

即小数部分为 1011，这里一定要注意，小数的结果是从上往下读

把整数和小数整一起，18.8125D就等于10010.1101B

3. 十进制变十六进制

和十进制变二进制有异曲同工之妙。

变二进制用的是 “除二取余，乘二取整”，而变十六进制用的是 “除十六取余，乘十六取整”

比如将 314.31D 变成十六进制数

整数部分为314，小数部分为0.31

整数部分就是从下往上读，即13A

小数部分就是从上往下读，即 4F

所以 314.31D=13A.4FH (这个H是代表十六进制的，不要弄混了)

4. 二进制变十六进制

二进制变十六进制简单，4位4位变就行了，没位就加0

举个例子：

把 11101.01B变成十六进制

所以整数部分就是1D，小数部分就是4

11101.01B=1D.4

这里可以看出来有两个特点：

从小数点开始，往两边四位四位取，不够加0

取4位后，先变十进制，在把十进制变成十六进制。如果你能直接把二进制变成十六进制，就当我没说。

把得到的十六进制，整合起来，小数的话别忘了小数点。

三. 计算机中的编码

上面提到数据的三要素里面有一个编码是吧，这里就会讲一下编码

你们如果干过渗透，爬虫，密码逆向之类的，应该都对编码不陌生，像ANSI，ASCII码，非ASCII编码，Unicode，UTF-8这些的，不过这些大部分人应该都见过，只是不太注意罢了。

比如我们保存文件的时候：

这个文件是UTF-8编码，那如果我们把编码变成ANSI看看会发生啥

我们这里是写了一个变格式的脚本

可以看到，这块变成?，不过这里本来是”你好”，如果说改成其他的编码，甚至会变成乱码。

这就是为哈编码是数据的三要素之一

1. BCD编码

我们知道，计算机基础的信息处理系统是利用电子元件 (硬件) 的不同状态组合来存储和处理信息的。

元件的不同状态组合能代表数字系统的数字，因此，编码就是将符号转换为计算机可以接受的数字系统的数，称为数字代码。

BCD (binary-coded decimal) 码也称 “二-十进制编码” ，它是专门解决用二进制数表示十进制数的问题的编码方法。

它既具有二进制数的形式，以满足数字系统的要求，又具有十进制数的特点 (只有10种有效状态)。

在某些情况下,计算机也可以对这种形式的数直接进行运算。

“二-十进制编码” 方法很多，有8421 码、2421码等，最常用的是8421码。

8421码是使用最广的BCD码，是一种有权码，其各位的权分别是 (从最高有效位开始到最低有效位) 8,4,2,1。

这个8,4,2,1应该知道怎么来的吧，2的3次方，2的2次方，上面讲了。

(1) 压缩BCD

我们通过这个位权也能反推出来它是4位数。这个4位数就是所谓的压缩BCD

所以 1D 变成压缩BCD码就是 0001，5D的BCD码就是 0101，10D的压缩BCD码就是 1000。

我们这样能表示1到10的数，那么像15，25，36这样数怎么表示？

很简单，直接俩数放一起。

15是1和5，1的压缩BCD是0001，5的BCD是0101，那么15的压缩BCD就是 0001 0101，就是把他俩放一起就行了

同理，25是2和5，0010和0101放一起，即00100101。36是00110110。

(2) 非压缩BCD

既然有压缩BCD，就有非压缩BCD，压缩BCD是4位数，非压缩BCD是8位数

啥意思呢？1D变成压缩BCD是 0001，变成非压缩BCD就是00000001，整整8位数

15的压缩BCD上面讲了，是00010101，那么它变成非压缩BCD就是 000000001放一起00000101 即 00000000100000101

2. ASCII码

在计算机中，所有的数据在存储和运算时都要使用二进制表示。

例如，像a、b、c、d这样的52个字母（包括大写）以及0、1等数字还有一些常用的符号（例如*、#、@等）在计算机中存储时也要使用二进制数来表示，而具体用哪些二进制数字表示哪个符号，这就是编码。

不同的计算机要想互相通信并且不造成混乱，那么每台计算机就必须使用相同的编码规则，于是美国国家标准学会（American National Standard Institute，ANSI）制定了ASCII编码。

(1) ASCII码特性

1. ASCII码是一种西文机内码。

美国信息交换标准代码是基于拉丁字母的一套电脑编码系统，主要用于显示现代英语和其他西欧语言。

它是最通用的信息交换标准，并等同于国际标准 ISO/IEC 646。不知道国际标准就不用管他，没用。

2. 有7位ASCII码和8位ASCII码两种。

标准ASCII码也叫标准ASCII（基础ASCII码）

标准ASCII码用一个字节（8位）表示一个字符，并规定其最高位为0，实际只用到7位，码值为00000000~01111111，即 0~127。因此可表示 128 个不同字符。

标准ASCII码包括数字 0~9，26 个大写英文字母、26 个小写英文字母，以及各种标点符号、运算符号和控制命令符号等。

这玩意主要是看表。

(2) ASCII码缺点

ASCII的局限在于只能显示26个基本拉丁字母、阿拉伯数字和英式标点符号，因此只能用于显示现代美国英语（且处理naïve、café、élite等外来语时，必须去除附加符号）。

虽然EASCII解决了部分西欧语言的显示问题，但对更多其他语言依然无能为力。

因此，现在的软件系统大多采用Unicode，特别是与ASCII向下兼容的UTF-8。

3. 无符号数和有符号数

(1) 有符号数

I 有符号数的定义

是用最高位（即从左往右数的第1位），表示符号（0为正数，1为负数），其余位表示数值大小。

有符号数区分正数和负数。

如图, 第一行的最高位为0，即开头为0，因此它是正数，后面是0010110，即22，所以有符号数00010110 代表了+22

下面那个的最高位位1，因此他是负数，所以有符号数10010110 代表-22

II 有符号数的转换

负的

已知二进制数：1 1 1 1 1 1 1 1，把它转化为十进制

先列出表格如下：

1	1	1	1	1	1	1	1
-2^7	2^6	2^5	2^4	2^3	2^2	2^1	2^0

可以看见，这个二进制数是1开头，所以是负数，所以第一个1是-2^7，后面的和正常一样。

最后全部算出来加一起就行了。等于-1

正的

我们在看看正数，即0开头的

已知二进制数：0 1 0 1 1 0 1 1，把它转化为十进制

先列出表格如下：

0	1	0	1	1	0	1	1
0	2^6	0	2^4	2^3	0	2^1	2^0

这里就是正常的按权展开，和正常的一样。

这里0能理解吧，0* 2^7 = 0

III 有符号数的表示方法

原码表示法

正数：将其十进制数转化为二进制数；

例如：十进制数11用二进制数表示为0 0 0 0 1 0 1 1

负数：将其十进制数转化为二进制数，最高位为符号位，取1；

例如：十进制数-11用二进制数表示为1 0 0 0 1 0 1 1

反码表示法

正数：原码 = 反码；

例如：原码为0 0 0 0 1 0 1 1，则其反码为0 0 0 0 1 0 1 1

负数：反码 = 原码除最高位（符号位）外，每位取反；

例如：原码为1 1 1 0 1 0 1，则其反码为1 0 0 1 0 1 0

补码表示法

正数：原码 = 补码；

例如：原码为0 0 0 0 1 0 1 1，则其补码为0 0 0 0 1 0 1 1

负数：补码 = 反码+1；

例如：原码为1 1 1 0 1 0 1，则其反码为1 0 0 1 0 1 0，其补码为1 0 0 1 0 1 1

移码表示法

正数：移码 = 补码最高位取反；

例如：原码为0 0 0 0 1 0 1 1，则其补码为0 0 0 0 1 0 1 1，则其移码为1 0 0 0 1 0 1 1

负数：移码 = 补码最高位取反；

例如：原码为1 1 1 0 1 0 1，则其反码为1 0 0 1 0 1 0，其补码为1 0 0 1 0 1 1，其移码为0 0 0 1 0 1 1

(2) 无符号数

无符号数的所有位都用于表示数的大小，只能用于表示非负数

I 无符号数的转换

无符号数的转换和正常的一样，直接按位展开就行了，不用管正负

II 无符号数的表示方法

无符号数没有原码、反码、补码、移码

四. 定点数和浮点数

这俩会一个一个的单独说